Question

【题目】设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）已知直线与曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）（2）见证明

【解析】

（1）点A在圆x2+y2＝16上运动，引起点Q的运动，可由4|BQ|＝3|BA|，得到点A和点Q坐标之间的关系式，由点A的坐标满足圆的方程得到点Q坐标满足的方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则M′（﹣x1，y1），将直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出直线M′N的方程，即可判断出所过的定点.

（1）设，，因为，在直线上，

所以，.①

因为点在圆上运动，所以.②

将①式代入②式即得曲线的方程为.

（2）设，，则，

联立，得，

所以，.

因为直线的斜率，

所以为.

令，得 ，

所以直线过定点.