Question

已知椭圆的离心率为，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且的周长为。

（Ⅰ）求椭圆的方程

（Ⅱ）设直线与椭圆相交于、两点，若（为坐标原点），求证：直线与圆相切.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）借助题中的已知条件以及、、三者之间的相互关系确定、、的值，从而确定椭圆的方程；（Ⅱ）对直线的斜率存在与不存在这两种情况进行讨论，即根据这个条件确定直线倾斜角为时，直线的方程，以及根据这个条件在斜率存在时方程中、之间的等量关系，并借助圆心（原点）到直线的距离等于圆的半径确定直线与圆相切.

试题解析：解（Ⅰ）由已知得，且

解得，又

所以椭圆的方程为            4分

（Ⅱ）证明：有题意可知，直线不过坐标原点，设的坐标分别为

（ⅰ）当直线轴时，直线的方程为且

则

     

，解得

故直线的方程为

因此，点到直线的距离为

又圆的圆心为，半径

所以直线与圆相切                     9分

（ⅱ）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为

由 得

  

故

即        ①

又圆的圆心为，半径

圆心到直线的距离为

     ②

将①式带入②式得

所以

因此，直线与圆相切                   14分

考点：椭圆、韦达定理、点到直线的距离