Question

【题目】在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆 的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点．若为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是_____

Answer 1

【答案】

【解析】

由题设知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，），由△是锐角三角形，知tan∠AF1 F2＜1，所以1，由此能求出椭圆的离心率e的取值范围．

解：∵点F1、F2分别是椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，

过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，

∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（c，），B（c，），

∵△是锐角三角形，

∴∠AF1 F2＜45°，∴tan∠AF1 F2＜1，

∴1，

整理，得b2＜2ac，

∴a2﹣c2＜2ac，

两边同时除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，

解得e1，或e1，（舍），

∴0＜e＜1，

∴椭圆的离心率e的取值范围是（1，1）．

故答案为：（1，1）．