Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆经过抛物线与坐标轴的三个交点．

（1）求圆的方程；

（2）经过点的直线与圆相交于，两点，若圆在，两点处的切线互相垂直，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）和．

【解析】

（1）方法一、求得抛物线与坐标轴的三个交点，设出圆的一般式方程，代入三点坐标，解方程组可得D，E，F，即可得到所求圆方程；方法二、由抛物线方程与圆的一般式方程，可令y＝0，可得D，F，再由抛物线与y轴的交点，可得E，即可得到所求圆方程；

（2）求圆C的圆心和半径，圆C在A，B两点处的切线互相垂直，可得∠ACB，求得C到直线l的距离，讨论直线l的斜率是否存在，由点到直线的距离公式，计算可得所求直线方程．

（1）方法一：抛物线与坐标轴的三个交点坐标为，，．

设圆的方程为，

则 , 解得

所以圆的方程为．

方法二：设圆的方程为．

令，得．

因为圆经过抛物线与轴的交点，

所以与方程同解，

所以，．

因此圆．

因为抛物线与轴的交点坐标为，

又所以点也在圆上，所以，解得．

所以圆的方程为．

（2）由（1）可得，圆：，

故圆心，半径．

因为圆在，两点处的切线互相垂直，所以．

所以到直线的距离．

① 当直线的斜率不存在时， ，符合题意；

② 当直线的斜率存在时，设，即，

所以，解得，

所以直线，即．

综上，所求直线的方程为和．

方法三：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

，，将直线的方程代入圆的方程得：

，

即

，．

因为圆在点，两点处的切线互相垂直，所以，

所以，即，

所以，

即，

即，

，

即，解得，所以直线：，

即．

②当直线的斜率不存在时，：，符合题意；

综上，所求直线的方程为和．