Question

【题目】设点,的坐标分别为,,直线,相交于点,且它们的斜率之积为-2,设点的轨迹是曲线.

（1）求曲线的方程;

（2）已知直线与曲线相交于不同两点、（均不在坐标轴上的点）,设曲线与轴的正半轴交于点,若,垂足为且,求证：直线恒过定点.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）建立平面直角坐标系,设,根据直线,的斜率之积为-2,列方程,整理即可得出曲线的轨迹方程.

（2）联立直线与曲线方程得,根据有两个不相同的交点,有根的判别式得①,再利用韦达定理得,.

根据列等式方程,整理即可求出或,分别与讨论得出直线恒过定点.

解:（1）建立平面直角坐标系,设,

因为直线,的斜率之积为-2

所以,

整理得曲线的方程为:

（2）由题意:联立

得,

由得①

设,,则,.

,

所以

即,

,

所以或均适合①.

当时,直线过点,

当时,直线过点,舍.

所以直线恒过定点.