Question

【题目】己知函数

（1）当时，设函数，求函数的单调区间和极值；

（2）设是的导函数，若对任意的恒成立，求的取值范围；

（3）设函数，当时，求在区间上的最大值和最小值.

Answer 1

【答案】（1）当,单调递减; 单调递增, 当，取得极小值;(2) ;(3) 的最大值,的最小值.

【解析】

(1)把代入可得，对求导可得其单调区间和极值；

（2）对求导可得在恒成立，设，对求导，可得有最小值，可得的取值范围；

（3）对求导，可得当，单调递增，当，单调递减，可得可得的最大值，设，对求导，可得的最小值.

解：（1）当时，，可得，

令，可得，

当时，，单调递减；

当，单调递增；

可得当，取得极小值；

（2），，

即，在恒成立，

设，可得，

令，可得，

当，，函数单调递减，

当，，函数单调递增，

当有最小值，可得，

，；

（3）由，可得，

当，可得，

所以，单调递增；

当时，，

所以，单调递减；

可得在单调递增，在单调递减，

又，可得的最大值

设

其中，可得，

故在单调递增，可得，即，

故可得的最小值.