Question

已知数列中，，对任意的，、、成等比数列，公比为；、、成等差数列，公差为，且．
（1）写出数列的前四项；
（2）设，求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和．

Answer 1

（1）或；（2）或；（3）时，，时，.

解析试题分析：（1）求数列的前4项，相对较容易，由题意可得成等比数列，而，要求得，对应再求得；（2）要求，实质上就是求，我们应求出的递推关系，从而求出通项，由题意，，而，这样就有，于是关于的递推关系就有了：，把它变形或用代入就可得到结论；（3）由（2）我们求出了，下面为了求，我们要把数列从前到后建立一个关系，分析已知，发现，这样就由而求出，于是，，得到数列的通项公式后，其前项和也就可求得了. 另外由于第（1）题中已知求出的数列的前4项（我们还可再求出接下来的一些项，增强想象），然后用猜想的方法猜测出其通项公式（），再数学归纳法证明之. 
试题解析：（1）由题意得
，，或.               2分
故数列的前四项为或.                   4分
（2）∵成公比为的等比数列，
成公比为的等比数列
∴，
又∵成等差数列，
∴.
得，，           6分
，
∴，，即.
∴ 数列数列为公差等差数列，且或.    8分
∴或.               10分
（3）当时，由（2）得.
，，
，
.                 13分
当时，同理可得，.   &nb