Question

【题目】定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意， 恒成立，则称为线周期函数， 为的线周期.

（Ⅰ）下列函数①，②，③（其中表示不超过的最大整数），是线周期函数的是（直接填写序号）；

（Ⅱ）若为线周期函数，其线周期为，求证：函数为周期函数；

（Ⅲ）若为线周期函数，求的值.

Answer 1

【答案】(1) ③(2)见解析(3)

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据新定义逐个判断即可；

（Ⅱ）根据新定义证明出 ，即可证得函数为周期函数；

（Ⅲ）φ（x）=sinx+kx为线周期函数，可得存在非零常数T，对任意x∈R，sin（x+T）+k（x+T）=sinx+kx+T．即可得到2kT=2T，解得验证即可．

试题解析：

（Ⅰ）对于①f（x+T）=2x+T=2x2T=f（x）2T，故不是线周期函数
对于②f（x+T）=log2（x+T）≠f（x）+T，故不是线周期函数
对于③f（x+T）=[x+T]=[x]+T=f（x）+T，故是线周期函数
故答案为③

（Ⅱ）证明：∵为线周期函数，其线周期为，

∴存在非零常数，对任意， 恒成立.

∵，

∴ .

∴为周期函数.

（Ⅲ）∵为线周期函数，

∴存在非零常数，对任意， .

∴.

令，得；…………①

令，得；…………②

①②两式相加，得.

∵，

∴.

检验：

当时， .

存在非零常数，对任意，

，

∴为线周期函数.

综上， .