Question

【题目】在平面直角坐标系 中，过椭圆 右焦点的直线交于两点 ， 为的中点，且 的斜率为 .

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于 两点，若在线段上存在点，

使得，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：

(1)利用题意求得 ，则椭圆 的方程为 .

(2)由题意联立直线与椭圆的方程，整理可得关于t的函数，据此可得 的取值范围是 .

试题解析：

解：(1) 设 ,则 ，相减得，

，由题意知 ，设 ，因为为的中点，且的斜率为 ，所以 ，即 ，所以可以解得 ，即 ，即 ，又因为 ，所以椭圆 的方程为 .

(2) 设线段的中点为 ，因为，所以，设直线的方程为 ，代入椭圆 的方程为，得 ，设 ，则 .则 ，即 ，

由已知得 ，整理得 ，因为 ，所以 ,

所以 的取值范围是 .