Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆过点， ， 分别为椭圆的右、下顶点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点在椭圆内，满足直线， 的斜率乘积为，且直线， 分别交椭圆于点， ．

(i) 若， 关于轴对称，求直线的斜率；

(ii) 求证： 的面积与的面积相等．

Answer 1

【答案】（1）． （2）(i) ;(ii) 见解析.

【解析】试题分析：

(1)由题意求得，椭圆的方程为.

(2)(i)设出点的坐标和直线方程，联立直线与椭圆的方程，得到关于实数k的方程，解方程可得；

(ii)利用题意证得，则的面积与的面积相等．

试题解析：

（1）由知， ，

又椭圆过点，所以，

解得 所以椭圆的方程为．

（2）设直线的斜率为，则直线的方程为．

联立 消去并整理得， ，

解得， ，所以．

因为直线， 的斜率乘积为，所以直线的方程．

联立 消去并整理得， ，

解得， ，所以．

(i) 因为， 关于轴对称，所以，

即，解得．

当时，点在椭圆外，不满足题意．

所以直线的斜率为．

(ii) 联立 解得．

所以

．

故的面积与的面积相等．