Question

【题目】在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，且，，点E是线段PD的中点．

Ⅰ求证：平面PAB；

Ⅱ求证：平面平面PCD；

Ⅲ当直线PC与平面PAD所成的角大小为时，求线段PA的长．

Answer 1

【答案】(I) 证明见解析 (II) 证明见解析(III)．

【解析】

Ⅰ取线段PA的中点F，连接EF、BF，得出，四边形BCEF是平行四边形，

即证，得出平面PAB；

Ⅱ由题意得出，，可证平面PAC，从而证明平面平面PCD；

Ⅲ取线段AD中点H，连接CH、PH，可得，，即证平面PAD；得出是直线PC与平面PAD所成的角，从而求得PA的值．

Ⅰ证明：取线段PA的中点F，连接EF、BF，

则，且，

所以四边形BCEF是平行四边形，

所以；

又平面PAB，平面PAB，

所以平面PAB；

Ⅱ证明：由题意得，，又，

所以；

又平面ABCD，

所以，且，

所以平面PAC，

又平面PCD，

所以平面平面PCD；

Ⅲ解：取线段AD中点H，连接CH、PH，

可得，，且，

所以平面PAD；

所以是直线PC与平面PAD所成的角，

所以；

所以；

又，

所以．