Question

【题目】在无穷数列中，是给定的正整数，，．

（Ⅰ）若，写出的值；

（Ⅱ）证明：数列中存在值为的项；

（Ⅲ）证明：若互质，则数列中必有无穷多项为．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

（I）根据以及的值，由此求得的值，找出规律，求得的值.（II）利用反证法，先假设，利用递推关系找出规律，推出矛盾，由此证明原命题成立.（III）首先利用反证法证明数列中必有“1”项，其次证明数列中必有无穷多项为“1”,由此证得原命题成立.

解：(I)由，以及，可知，，，从开始，规律为两个和一个，周期为，重复出现，故.

(II)反证法：假设,由于 ，

记.则.

则，,

，，，

依次递推，有，…，

则

当时，与矛盾.

故存在，使

所以，数列必在有限项后出现值为的项．

(III)首先证明：数列中必有“1”项．用反证法，

假设数列中没有“1”项，由(II)知，数列中必有“0”项，设第一个“0”项是 ，令，，则必有，

于是，由，则，因此是的因数，

由，则或，因此是的因数.

依次递推，可得是的因数，因为，所以这与互质矛盾．所以，数列中必有“1”项．

其次证明数列中必有无穷多项为“1”.

假设数列中的第一个“1”项是，令，，

则，

若 ，则数列中的项从开始，依次为“1，1，0”的无限循环，

故有无穷多项为1；

若，则，

若，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为1；

若，则从开始的项依次为，

必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．