Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD= ，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．

（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在△PAD卡中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD．

又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD

（2）解：连接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，

所以OB∥DC．

由（1）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，

所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角．

因为AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以OB= ，

在Rt△POA中，因为AP= ，AO=1，所以OP=1，

在Rt△PBO中，PB= ，所以cos∠PBO= ，

所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为

（3）解：假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 ．

设QD=x，则S△DQC= x，由（2）得CD=OB= ，

在Rt△POC中，PC= ，

所以PC=CD=DP，S△PCD= = ，

由Vp﹣DQC=VQ﹣PCD，得x= ，所以存在点Q满足题意，此时 = ．

【解析】（1）根据线面垂直的判定定理可知，只需证直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直即可；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；（3）利用Vp﹣DQC=VQ﹣PCD ， 即可得出结论．