Question

若定义在R上的函数f（x）满足：存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀是函数f（x）的一个不动点．
（I）求函数g（x）=x³-2x的不动点；
（II）若函数h（x）=ax²+bx-b有不动点-3和1，求h（-1）的值．

Answer 1

分析：（I）根据新定义在R上的函数f（x）满足：存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，根据已知函数g（x）=x³-2x，列出方程求出不动点；
（II）函数h（x）=ax²+bx-b有不动点-3和1可得h（x）=x，方程有两个根为-3和1，根据根与系数的关系进行求解；

解答：解：（I）∵定义在R上的函数f（x）满足：存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，
∴g（x₀）=x₀，即x₀³-2x₀=x₀，∴x₀³-3x₀=0，解得x=0或x=±

3

，
∴函数三个不动点是：-

3

，0，

3

；
（II）∵-3和1是函数h（x）的不动点，
∴h（-3）=-3，h（1）=1，
∴

9a-3b-b=-3 a+b-b=1

，
解得

a=1 b=3

，
于是h（x）=x²+3x-3，h（-1）=-5；

点评：此题主要考查函数的零点与方程的关系，是一道中档题，新定义的问题一般要读懂题意，考查的知识点比较全面；