Question

【题目】已知函数f（x）= ，其中 =（2cosx， sin2x）， =（cosx，1），x∈R
（1）求函数y=f（x）的最小正周期和单调递增区间：
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a= 且sinB=2sinC，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =（2cosx， sin2x）， =（cosx，1），x∈R，

∴f（x）= =

= =2sin（2x+ ）+1，

∴函数y=f（x）的最小正周期为T=π，

单调递增区间满足﹣ +2kπ +2kπ，k∈Z．

解得﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z．

∴函数y=f（x）的单调增区间是[﹣ +kπ， ]，k∈Z．

（2）解：∵f（A）=2，∴2sin（2A+ ）+1=2，即sin（2A+ ）= ，

又∵0＜A＜π，∴A= ，

∵ ，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7，①

∵sinB=2sinC，∴b=2c．②

由①②得c2= ，∴ ．

【解析】（1）求出f（x）=2sin（2x+ ）+1，由此能求出函数y=f（x）的最小正周期和函数y=f（x）的单调增区间．（2）由f（A）=2，求出A= ，由 ，利用余弦定理得b=2c．由此能求出△ABC的面积．