Question

给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．设l的斜率为1，则

.

OA

与

.

OB

夹角为

 

．

Answer 1

分析：先根据抛物线方程求得焦点的坐标，进而可求得直线l的方程，代入抛物线方程消去x，设出A，B的坐标，根据韦达定理求得y₁+y₂和y₁y₂的值，进而直线方程求得x₁x₂值然后利用平面向量的运算法则求得

OA

•

OB

和|OA|•|OB|的值，进而向量的数量积的计算求得cos＜

OA

，

OB

＞的值，最后求得

OA

与

OB

夹角．

解答：解：抛物线的焦点为F（1，0），直线l的方程为：x=y+1；
将其代入抛物线方程得：y²-4y-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有y₁+y₂=4，y₁y₂=-4，
又x₁=

1

4

y₁²，x₂=

1

4

y₂²，
∴x₁x₂=

1

16

（y₁y₂）²=1．

OA

•

OB

=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂=-3．
|OA|•|OB|=

x 2 1 + y 2 1

•

x 2 2 + y 2 2

=

(x1x2) 2+( y1y2)  2+ 1 16 (y1y2) 2[(y1+y2) 2-2y1y2]

=

41

，
∴cos＜

OA

，

OB

＞=

OA • OB

| OA |• | OB |

=-

3 41

41

故

OA

与

OB

夹角为π-arccos

3 41

41

．
故答案为：π-arccos

3 41

41

．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质和平面向量的计算．在研究形如y²=2px的抛物线与直线的有关问题时，设直线方程为x=my+b的形式，不仅可以简化计算，有时还可以避免对直线斜率是否存在的讨论．