Question

给定抛物线C：y²=4x，F是其焦点，过F的直线l：y=k（x-1），它与C相交于A、B两点．如果

FB

=λ

AF

且λ∈[

1

16

，

1

4

]．那么k的变化范围是（　　）

• A、[

  8

  15

  ，

  4

  3

  ]
• B、[-

  4

  3

  ，-

  8

  15

  ]
• C、[

  8

  15

  ，

  4

  3

  ]∪[-

  4

  3

  ，-

  8

  15

  ]
• D、（-∞，-

  4

  3

  ]∪[

  8

  15

  ，+∞）

Answer 1

分析：根据

FB

=λ

AF

得关于x₂和y₂的方程组，进而求得x₂=λ．得到B的坐标，根据焦点坐标可得直线的方程，进而求得直线在y轴上的截距，根据

2 λ

λ-1

=

2

λ +1

+

2

λ-1

，判断

2 λ

λ-1

在λ∈[

1

16

，

1

4

]上是递减的，进而得到答案．

解答：解：由题设知

FB

=λ

AF

得：（x₂-1，y₂）=λ（1-x₁，-y₁），即

x2-1=λ(1-x1)(1) y2=-λy1(2)

（2）
由（2）得y₂²=λ²y₁²，
∵y₁²=4x₁，y₂²=4x²，∴x₂=λ²x₁（3）
联立（1）（3）解得x₂=λ．依题意有λ＞0．
∴B（λ，2

λ

）或B（λ，-2

λ

），又F（1，0），
得直线l的方程为（λ-1）y=2

λ

（x-1）或（λ-1）y=-2

λ

（x-1）
当λ∈[

1

16

，

1

4

]时，l在y轴上的截距为

2 λ

λ-1

或-

2 λ

λ-1

由

2 λ

λ-1

=

2

λ +1

+

2

λ-1

，可知

2 λ

λ-1

在[

1

16

，

1

4

]上是递减的，
∴

8

15

≤

2 λ

λ-1

≤

4

3

，-

4

3

≤-

2 λ

λ-1

≤-

8

15

直线l在y轴上截距的变化范围是[

8

15

，

4

3

]∪[-

4

3

，-

8

15

]
故选C．

点评：本题主要考查了抛物线的应用和抛物线与直线的关系．考查了学生对圆锥曲线知识的综合掌握．