Question

给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．
（Ⅰ）设l的斜率为1，求

OA

与

OB

夹角的大小；
（Ⅱ）设

FB

=λ

AF

，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．

Answer 1

分析：（I）由抛物线方程可求得焦点坐标，进而根据直线斜率得到l的方程与抛物线方程联立消去y，进而设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据韦达定理可求得x₁+x₂和x₁x₂，进而求得

OA

•

OB

，最后可求得cos＜

OA

，

OB

＞得到夹角的值．
（II）根据

FB

=λ

AF

得关于x₂和y₂的方程组，进而求得x₂=λ．得到B的坐标，根据焦点坐标可得直线的方程，进而求得直线在y轴上的截距，根据

2 λ

λ-1

=

2

λ +1

+

2

λ-1

，判断

2 λ

λ-1

在[4，9]上是递减的，进而得到答案．

解答：解：（I）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1．
将y=x-1代入方程y²=4x，并整理得x²-6x+1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁+x₂=6，x₁x₂=1，

OA

•

OB

=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=-3.|

OA

|•|

OB

|=

x 2 1 + y 2 1

•

x 2 2 + y 2 2

=

x1x2[x1x2+4(x1+x2)+16]

=

41

cos＜

OA

，

OB

＞=

OA • OB

| OA |•| OB |

=-

3 41

41

.
所以

OA

与

OB

夹角的大小为π-arccos

3 41

41

．
解：（II）由题设知

FB

=λ

AF

得：（x₂-1，y₂）=λ（1-x₁，-y₁），即

x2-1=λ(1-x1)(1) y2=-λy1(2)

由（2）得y₂²=λ²y₁²，∵y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，∴x₂=λ²x₁（3）
联立（1）（3）解得x₂=λ．依题意有λ＞0．
∴B（λ，2

λ

）或B（λ，-2

λ

），又F（1，0），
得直线l的方程为（λ-1）y=2

λ

（x-1）或（λ-1）y=-2

λ

（x-1）
当λ∈[4，9]时，l在y轴上的截距为

2 λ

λ-1

或-

2 λ

λ-1

由

2 λ

λ-1

=

2

λ +1

+

2

λ-1

，可知

2 λ

λ-1

在[4，9]上是递减的，
∴

3

4

≤

2 λ

λ-1

≤

4

3

，-

4

3

≤-

2 λ

λ-1

≤-

3

4

直线l在y轴上截距的变化范围是[-

4

3

，-

3

4

]∪[

3

4

，

4

3

]．

点评：本题主要考查了抛物线的应用和抛物线与直线的关系．考查了学生对圆锥曲线知识的综合掌握．