Question

（本题14分）已知函数f （x） = ax³ +x² -ax，其中a，x∈R．
（Ⅰ）若函数f （x）在区间（1，2）上不是单调函数，试求a的取值范围；
（Ⅱ）直接写出（不需给出运算过程）函数的单调递减区间；
（Ⅲ）如果存在a∈（-∞，-1]，使得函数， x∈[-1, b]（b > -1），在x = -1处取得最小值，试求b的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）解法一：
依题意知方程在区间（1，2）内有不重复的零点，
由得 
∵x∈（1，2）， ∴
∴；
令  （x∈（1，2）），则，
∴在区间（1，2）上是单调递增函数，其值域为，
故a的取值范围是．             ………………………5分
解法二：
依题意知方程即在区间（1，2）内有不重复的零点，
当a=0时，得 x=0，但0（1，2）；
当a≠0时，方程的△=1+12a²>0，,必有两异号根，
欲使f （x）在区间（1，2）上不是单调函数，方程在（1，2）内一定有一根，设，则F（1）·F（2）<0，
即 （2a+2）（11a+4）<0，解得，
故 a的取值范围是．     
（解法二得分标准类比解法一）
（Ⅱ）函数g （x）的定义域为（0，+∞），
当 a≥0时，g （x）在（0，+∞）上单调递增，无单调递减区间；
当 a<0时，g （x）的单调递减区间是  ………………8分
（Ⅲ）；
依题意在区间[-1, b]上恒成立，
即     ①
当x∈[-1, b] 恒成立，
当 x=-1时，不等式①成立；
当 -1< x ≤b时，不等式①可化为
   ②
令，由a∈（-∞,-1]知，的图像是
开口向下的抛物线，所以，在闭区间上的最小值必在区间的端点处取得，
而，
∴不等式②恒成立的充要条件是，
即，
亦即  a∈（-∞,-1]；
当a∈（-∞,-1]时，，
∴ （b >-1）， 即 b²+b-4 ≤ 0；
解得；
但b >-1，∴；
故 b的最大值为，此时 a =-1符合题意．     ……………14分

解析