Question

已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．
（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．

Answer 1

（1），
（2）当时, 函数有一零点；
当()，或（）时，函数有两个零点；
当时，函数有一零点

解析试题分析：解：（1）依题可设 ()，
则；
又的图像与直线平行  ，
， ，  
设，则      

当且仅当时，取得最小值，即取得最小值
当时，  解得 
当时，  解得
（2）由()，得 
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，
若，，
函数有两个零点，即；
若，，
函数有两个零点，即；
当时，方程有一解,  ,
函数有一零点 
综上，当时, 函数有一零点；
当()，或（）时，
函数有两个零点；
当时，函数有一零点.
考点：函数的零点
点评：主要是考查了函数的零点以及函数的极值的运用，属于中档题。