Question

【题目】将边长为正整数m、n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值.

Answer 1

【答案】

【解析】

记所求最小值为，可以证明.（*）

事实上，不妨设.

（1）对m归纳，可证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为.

当m=1,时，命题显然成立.

假设当时，结论成立.当时，若，则命题显然成立，若，从矩形ABCD中切去正方形（如图）.由归纳假设，矩形有一种分法使得所得正方形边长之和恰为.

于是，原矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为.

（2）对m归纳可以证明（*）成立.

当m=1时，由于n=1，显然.

假设当时，对任意，有.

若，当时，显然

当时，设矩形ABCD按要求分成了p个正方形，其边长分别为.不妨设.

显然，或.

若，则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形（或其边界），于是不少于AB与CD之和.

故.

若，则一个边长分别为m-n和n的矩形可按题目要求分成边长分别为的正方形，由归纳假设.

从而，

于是，当m=k+1时，

再由（1）可知，.