Question

【题目】某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测100株树苗的高度，经数据处理得到如图（1）所示的频率分布直方图，其中最高的16株树苗的高度的茎叶图如图（2）所示，以这100株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.

（1）求这批树苗的高度高于米的概率，并求图（1）中，，的值；

（2）若从这批树苗中随机选取3株，记为高度在的树苗数量，求的分布列和数学期望；

（3）若变量满足且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布.如果这批树苗的高度满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收.试问：该批树苗能否被签收？

Answer 1

【答案】（1）概率为，，，；（2）分布列答案见解析，数学期望；（3）被签收.

【解析】

（1）结合茎叶图，求得每组频率，再求得的值.

（2）根据二项分布的知识求得分布列并求得数学期望.

（3）求得与，由此判断这批树苗的高度满足近似于正态分布的概率分布，应认为这批树苗是合格的，能被签收.

（1）由题图（2）可知，100株样本树苗中高度高于米的共有15株，

以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗的高度高于米的概率为.

记为树苗的高度，结合题图（1）（2）可得：

，

，

.

因为组距为，所以，，.

（2）以样本的频率估计总体的概率，可得：从这批树苗中随机选取1株，高度在的概率为

.

因为从这批树苗中随机选取3株，相当于三次独立重复试验，

所以随机变量服从二项分布，

故的分布列为，

即

	0	1	2	3

(或).

（3）由，取，，

由（2）可知，，

又结合（1），可得

，

所以这批树苗的高度满足近似于正态分布的概率分布，

应认为这批树苗是合格的，将顺利被该公司签收.