Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率e= ，左顶点、上顶点分别为A，B，△OAB的面积为3（点O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P、Q分别是AB、椭圆C上的动点，且 =λ （λ＜0），求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵e= ，s△OAB= =3，a2﹣b2=c2∴a2=9，b2=4．

椭圆C的方程为：

（2）解：由（1）得A（﹣3，0），B（0.2），∴直线AB的方程为：2x﹣3y+6=0．

∵P、Q分别是AB、椭圆C上的动点，且 =λ （λ＜0），∴P、O、Q三点共线，

设直线PQ的方程为：y=kx （k＜0）

由 得P（ ，y1）．

由 得Q（ ，y2）

由 =λ （λ＜0）得

λ= =﹣

=﹣

∵k＜0∴9k+ ，∴﹣1＜λ＜≤﹣ ，

当直线PQ的斜率为0或不存在时，λ=﹣1，

综上：实数λ的取值范围：[﹣1，﹣ ]

【解析】（1）由e= ，s△OAB= =3，a2﹣b2=c2 ， 求得a2 ， b2即可．（2）由（1）得直线AB的方程为：2x﹣3y+6=0． 由 得P（ ，y1）．由 得Q（ ，y2）
由 =λ （λ＜0）得λ= =﹣ =﹣ 即可求解．