Question

【题目】已知数列{an}中， （Ⅰ）求证： 是等比数列，并求{an}的通项公式an；
（Ⅱ）数列{bn}满足 ，数列{bn}的前n项和为Tn ， 若不等式 对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）由 ，得 = =1+ ， 即 +1=2（ ），
又 ，∴ 是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴ +1=2×2n﹣1=2n ， 即 ．
解：（Ⅱ）bn= ，
Tn=1× +…+（n﹣1）× ，
= ，
两式相减得：
= ﹣n× =2﹣ ，
Tn=4﹣ ，
∴（﹣1）nλ＜4﹣ ，
令Sn=4﹣ ，由题意知Sn单调递增．
若n为偶数，则λ＜4﹣ ，Sn|min=S2=3，
∴λ＜3．
若n为奇数，则﹣λ＜4﹣ ，Sn|min=S1=2，
∴﹣λ＜2，∴λ＞﹣2，
∴﹣2＜λ＜3．即λ的取值范围是（﹣2，3）．
【解析】（Ⅰ）由 ，得 +1=2（ ），由此能证明 是以2为首项，2为公比的等比数列，并能求出{an}的通项公式an ． （Ⅱ）由bn= ，利用错位相减法能求出Tn=4﹣ ，从而（﹣1）nλ＜4﹣ ，由此能求出λ的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等比数列的通项公式（及其变式）(通项公式：)，还要掌握数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)的相关知识才是答题的关键．