Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若，且对任意的，都有，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）对a分和两种情况讨论，利用导数求函数的单调性；（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知在上单调递增，在上单调递减.再对a分三种情况讨论，利用导数研究不等式的恒成立问题得解.

（Ⅰ）函数的定义域为，.

（i）当时，恒成立，

∴在上单调递增.

（ii）当时，在上，在上，

∴在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.

（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知在上单调递增，在上单调递减.

①当，即时，在上单调递减，

，，解得.

∴.

②当，即时，在上单调递增，

，，解得.

∴.

③当，即时，在上单调递增，在上单调递减.

.

则，即.

令，，

易得，所以在上单调递增.

又∵，∴对任意的，都有.

∴.

综上所述，的取值范围为.