Question

【题目】已知函数.

（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；

（2）若两个极值点，试判断与的大小关系并证明.

Answer 1

【答案】（1）；（2），证明见解析

【解析】

（1）利用函数有两个极值点可知在上有两个不等实根，将问题转化为与在有两个不同的交点的问题，通过数形结合的方式确定相切为临界状态，进而利用过某点处切线的求解方法可求得结果；

（2）根据为的两根可得到，设，则，由方程组可求得，将与的大小比较问题转化为比较的大小关系，进一步将问题化为比较大小关系，设，利用导数可求得，进而得到结论.

（1）由题意得：定义域为，，

有两个极值点，在上有两个不等实根，

令，则与在有两个不同的交点，

当与相切时，设切点为，

则，解得：，

则当时，与在有两个不同的交点，，

即当时，有两个极值点.

（2），证明如下：

由题意得：，

为的两个根，不妨设，则，

则，解得：，

要考虑大小关系即考虑的大小关系，

即考虑的大小关系即考虑的大小关系，

即考虑的大小关系即的大小关系，

令，

则，

由知：，

在上单调递减，，即，

.