Question

【题目】已知椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设A、B分别是椭圆的左、右顶点，动点M满足，垂足为B，连接AM交椭圆于点P（异于A），则是否存在定点T，使得以线段MP为直径的圆恒过直线BP与MT的交点Q，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在符合题意

【解析】

（1）由题意可列方程，解之可得椭圆的标准方程；

（2）可设直线AP的方程是（），联立直线与椭圆方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合跟系数的关系可得点坐标，设存在点，使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MT的交点，可得，代入的斜率，可得点T的坐标.

解：（1）因为双曲线的焦点坐标为，

所以设所求的椭圆的方程为（），

则，解得，

所以椭圆的标准方程是.

（2）设直线AP的方程是（），

将其与联立，消去y得，设，

则，

所以，所以

，

易知，

设存在点，使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MT的交点

，对于任意成立，

即，对于任意成立，，

所以存在符合题意.