Question

【题目】椭圆经过为坐标原点，线段的中点在圆上.

（1）求的方程；

（2）直线不过曲线的右焦点，与交于两点，且与圆相切，切点在第一象限， 的周长是否为定值？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由题意，可得： ，从而得到的方程；

（2）依题意可设直线，由直线与圆相切，且切点的第一象限，可得，将直线与椭圆方程联立可得，利用韦达定理表示，同时表示，同理，从而易得周长为定值.

试题解析：

（1）由题意得，

由题意得， 的中点在圆上，

所以，得，

所以椭圆方程为.

（2）依题意可设直线，

因为直线与圆相切，且切点的第一象限，

所以，且有，

设，将直线与椭圆方程联立

可得， ， ，且

，

因为，故，

另一方面

，

化简得，同理，可得，

由此可得的周长，

故的周长为定值.