Question

【题目】设函数

，曲线

过点

，且在点

处的切线方程为

.

（1）求

的值；

（2）证明：当

时，

；

（3）若当

时，

恒成立，求实数

的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）

；（2）详见解析；（3）

.

【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得

，再结合

联立方程组，解得

的值；（2）即证明差函数

的最小值非负，先求差函数的导数，为研究导函数符号，需对导函数再次求导，得导函数最小值为零，因此差函数单调递增，也即差函数最小值为

，（3）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，本题仍研究差函数

，因为

，所以

.先求差函数导数，再求导函数的导数得

，所以分

进行讨论：当

时，

满足题意；当

时，能找到一个减区间，使得

不满足题意.

试题解析：（1）由题意可知，

定义域为

，

，

．

（2）

，

设

，

，

由

，

在

上单调递增，

∴

，

在

上单调递增，

．

∴

．

（3）设

,

，

，

由（2）中知

，

，

∴

，

当

即

时，

，

所以

在

单调递增，

，成立．

②当

即

时，

，令

，得

，

当

时，

单调递减，则

，

所以

在

上单调递减，所以

，不成立．

综上，

．