Question

【题目】(2015福建)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1．

（1）若D为线段AC的中点，求证AC平面PDO；
（2）求三棱锥P-ABC体积的最大值；
（3）若BC=，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

详见解析；

（2）

;

（3）

;

【解析】解法一：（1）在AOC中，因为OA=OC,D为AC的中点，所以ACOD,又PO垂直于O所在平面，所以POAC。 因为DOPO=0，所以AC平面PDO；
（2）因为点C是圆O上，所以当COAB时，C到AB的距离最大，且最大值为1. 又AB=2，所以ABC的面积的最大值是=1. 又因为三棱锥P-ABC的高PO=1，故三棱锥P-ABC体积的最大值为=
（3）在POB中，PO=OB=1，POB=,所以PB==，同理PC=,所以PB=PC=BC,在三棱锥P-ABC，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面，如图所示，当O,E,C'共线时，CE+OE取得最小值。又因为OP=OB,C'P=C'B,所以OC'垂直平分BP，即E为BP中点，从而OC'=OE+EC'=+=,亦即CE+OE的最小值为。
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．