Question

【题目】已知函数．

（1）若在定义域内单调递增，求实数的值；

（2）若在定义域内有唯一的零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）．（2）{或}

【解析】

（1）依题意知函数的定义域为，可得，对参数分类讨论，并利用导数进行求解；

（2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，利用函数单调性结合零点存在定理求解，即可求得答案.

（1）依题意知函数的定义域为，

且.

若，则当时，，此时不符合题意.

若，记，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

故有最小值

①若，即，的最小值为，

故（当且仅当时等号成立），此时单调递增，符合题意.

②若，则，

当时，单调递增，

又，

当时，，单调递减，不符合题意.

③若，则，

当时，单调递减.

又，

当时，，单调递减，不符合题意.

综上，若在定义域内单调递增，实数的值为.

（2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，

，

有唯一的零点，符合题意；

当时，单调递增，有唯一的零点，符合题意.

下面考虑且的情况.

由（1）知，，且，

下面证明：，

易得：，

设

令，解得：

令，解得：

则函数在上单调递增，在上单调递减

则函数在处取得最小值，

，则

即

设，

令，解得

，解得

则函数在上单调递增，在上单调递减

则在处取得最大值，

，

即，即

则

即可证得成立，

证明：完毕

，

于是有（因为），

下面证明成立

设

在同一坐标系画出：和图象

由图象可得：时，

,单调增函数，

成立，

证明成立完毕

，

故存在，，使得.

又，

或.

若，即，

由（1）令

在同一坐标系画出，

，单调增函数，

，

，

从而，，，可知有两个零点.

若，即，

注意到，，，

可知有两个零点.

故实数的取值范围是或.