Question

【题目】已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点．

（1）若直线平行于轴，，求抛物线的方程；

（2）对于（1）条件下的抛物线，当直线的斜率变化时，证明．

Answer 1

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

（1）由直线平行于轴可知是以为顶点的等腰三角形，联立直线与抛物线的方程并利用三角形面积公式列方程，解得的值，即得抛物线的方程；

（2）联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系及斜率公式得到，即得，利用三角形面积公式得到线段比，即得证．

解：（1）当直线平行于轴时，直线的方程为是以为顶点的等腰三角形，

联立方程，得消去得，得．

所以，解得，

所以抛物线的方程为．

（2）欲证，

只需证．

由题意可知直线的斜率存在，

故可设直线的方程为，

联立方程，得

消去，得，

则

所以直线的斜率，

直线的斜率，

，

所以直线与的倾斜角互补，

所以．

又，，

所以，

所以．