Question

【题目】已知抛物线，直线 与抛物线交于，两点．

（1）若以为直径的圆与轴相切，求该圆的方程；

（2）若直线与轴负半轴相交，求(为坐标原点)面积的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.

【解析】

试题（Ⅰ）联立，消并化简整理得,利用圆与轴相切的位置关系得弦从而确定的值，进而求得该圆的方程；

（Ⅱ）首先根据直线与抛物线的位置关系将弦的长度和原点到直线的距离均表示为的函数，并确定的取值范围，从而把的面积也表示为的函数，最后利用函数的最值求出的最大值.

试题解析：（Ⅰ）联立，消并化简整理得．

依题意应有，解得．

设，则，

设圆心，则应有．

因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，

又．

所以，

解得．

所以，所以圆心为．

故所求圆的方程为．

（Ⅱ）因为直线与轴负半轴相交，所以，

又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知，所以，

直线：整理得，点到直线的距离，

所以． 令，，

，

	＋	0	－
		极大

由上表可得的最大值为．所以当时，的面积取得最大值．