Question

【题目】如图所示，四棱锥中，，，，，点分别为的中点．

（1）证明：平面∥平面；

（2）若，求异面直线与所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）由题可知，，结合为正三角形，进而证得，利用面面平行的判定定理，即可证明：平面∥平面；

（2）取中点，连结，通过线面垂直的性质和判定定理，即可证出平面，建立空间直角坐标系，通过空间向量法求出空间异面直线的夹角的余弦值.

（1）如图，因为分别为的中点，所以，平面，∴平面；

又，，所以为正三角形，

又，，所以，，

又，所以，∴平面

因为，

所以平面平面．

（2）如图，取中点，连结，

因为，，

所以为正三角形，所以，

又因为为等腰三角形，所以，

所以三点共线，所以，

因为，所以，，，

所以，所以，，

又，所以，

所以，又，所以平面．

以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，

，，

设异面直线与所成角为，

所以．

所以异面直线与所成角的余弦值为．