Question

【题目】对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：①任意的，总有；②；③若，，，总有成立,则称函数为理想函数.

（1）证明：若函数为理想函数，则；

（2）证明：函数，是理想函数；

（3）证明：若函数为理想函数，假定存在，使得且，则.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

(1) 令分别代入题设条件进行分析即可.
(2)对①②直接根据二次函数的性质进行判断,对③需代入计算化简

证明即可.
(3)取,再根据题目条件代入分析论证即可.

(1)令,代入可得：即：,

又由条件①得：,故：；

(2)对于函数,易得其值域,满足①要求；其中.满足②要求,若,,,

故满足③,综上所述：函数是理想函数；

(3)取,则：,因此：假设：,若,则；若,则,都与题设矛盾,所以假设不成立,则.