Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）.已知的面积的最大值为，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线交椭圆于、两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与、重合）.设的外心为，求证为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由已知条件得出关于、、的方程组，求出、的值，进而可得出椭圆的方程；

（2）由题意可知直线的斜率存在，可设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出，利用线段和的垂直平分线的交点得出点的坐标，进而得出，再对进行化简即可.

（1）的面积的最大值为，

由已知条件得，解得，因此，椭圆的方程为；

（2）由题意可知，直线的斜率存在，且不为零，易知点，

设直线的方程为，设点、，可知点，

联立，消去得，

由韦达定理得，，

由弦长公式得 ，

，，

所以，线段的中点为，

则线段的垂直平分线的方程为，即，

线段的垂直平分线为轴，在直线方程中，令，得.

则点，，

因此，（定值）.