Question

【题目】如图，圆盘上有一指针，开始时指向圆盘的正上方．指针每次顺时针方向绕圆盘中心转动一角，且，经2004次旋转，第一次回到了其初始位置，即又指向了圆盘的正上方．试问：有多少个可能的不同值?

Answer 1

【答案】325

【解析】

显然有．①

这里是当指针第一次回到其初始位置时已经转过的圈数．

因是正整数，式①整理后可得．

同时必与2004互质，即．

设．若有，则令．

此时有．

这意味着指针转动次，每次转动角，指针则旋转圈之后，回到其初始位置，与题设矛盾．

由上述讨论可知，对任一满足，且的，对应一个可能的．反之亦然．

故问题成为求满足上述两个条件的所有的个数．

因为，

所以，．

在不大于1001的正整数中，不能被2或3整除的正整数共有

（个）．

（符号表示不超过的最大整数．）

其中只有及能被167整除，所以，不大于1001且满足条件的共有个．再去掉1，5，7，11，13，17，19这7个不大于20的数，知同时满足两个条件的共有个．

因此，共有325个可能的不同值．