Question

【题目】设函数， .

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在处取得极大值，求正实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）正实数的取值范围为。

【解析】试题分析：（1）求出，分两种情况讨论，分别令求得 的范围，可得函数增区间， 求得 的范围，可得函数的减区间；（2）讨论的取值范围，分别利用导数研究函数的单调性，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论.

试题解析：（1）由，

所以.

当时， ，函数在上单调递增；

当时， ，函数单调递增， 时， ，函数单调递减.

所以当时， 的单调增区间为；

当时， 的单调增区间为，单调减区间为.

（2）∵，

∴且.

由（1）知①当时， ，由（1）知在内单调递增，可得当时， ，当时， .

所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意.

②当时， ， 在内单调递增，在内单调递减，所以当时， ， 单调递减，不合题意.

③当时， ，当时， ， 单调递增，当时， ， 单调递减.

所以在处取得极大值，符合题意.

综上可知，正实数的取值范围为.