Question

【题目】如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC= ．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在 上选一点P（异于M，N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．

（1）若∠PBC= ，求PQ的长度；
（2）当点P选择在何处时，才能使得修建的小路 与PQ及QD的总长最小？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解．如图示：

，

连接BP，过P作PP1⊥BC，垂足为P1，过Q作QQ1⊥BC垂足为Q1，

在Rt△PBP1中， ，PQ=1

（2）解．设∠PBP1=θ， ，

∴ ，

在Rt△QBQ1中， ，

∴总路径长f（θ）= ﹣θ+4﹣cosθ﹣ sinθ，（0＜θ＜ ），

f′（θ）=sinθ﹣ cosθ﹣1=2sin（θ﹣ ）﹣1，

令f'（θ）=0， ，

当 时，f'（θ）＜0，

当 时，f'（θ）＞0，

所以当 时，总路径最短．

答：当BP⊥BC时，总路径最短

【解析】（1）作出辅助线，根据梯形的性质求出PQ的长即可；（2）设∠PBP1=θ，求出PQ的长，得到总路径长f（θ）的表达式，通过求导得到函数的单调性，从而求出去最小值时θ的值，即P点的位置即可．