Question

【题目】已知位数满足下列条件：①各个数字只能从集合中选取；②若其中有数字4,则在4的前面不含2.将这样的n位数的个数记为

（1）求；

（2）探究与之间的关系,求出数列的通项公式；

（3）对于每个正整数,在与之间插入个得到一个新数列,设是数列的前项和,试探究能否成立？写出你探究得到的结论并给出证明.

Answer 1

【答案】(1) , ；(2) ；(3)不能成立,证明过程见解析.

【解析】

(1)根据已知分类讨论可以计算出的值；

(2)根据已知分类讨论可以求出与之间的关系,通过恒等变形可以转化成等差数列,最后求出数列的通项公式；

(3)分别计算数列前6项,可得,即可得了结论.

(1) 时,若个位上数字是1，2，3时,十位上的数字有四种选择方法；

当个位上数字是4时，十位上的数字中有三种选择方法，因此；

时,若个位上数字是1，2，3时,每种情况下符合条件的数字都有种,

当个位上数字是4时，十位上的数字和百位上的数字都有三种选择方法,因此

.

所以,；

(2)当n+1位数时，若个位上的数字是1，2，3时,每种情况下符合条件的数字都有种,当个位上数字是4时，其他数位上的数字都有三种选择方法，因此

,变形为：,所以数列是以为首项, 为公差的等差数列,即；

(3)由通项公式可知：

,故不成立.