Question

【题目】已知函数.

(Ⅰ)若的值域为，求的值；

(Ⅱ)巳，是否存在这祥的实数，使函数在区间内有且只有一个零点.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)存在，

【解析】

（1）的值域为，则函数必须是开口向上、与轴有唯一交点的二次函数.可以求出的值.

（2）已知某函数零点个数，求参数问题，函数零点问题可以转化为方程根或者通过转化变成两图象交点个数问题.本题中令 ，则它的图象非常熟悉，而在∈的图象则需要考虑是否是二次函数，当确定是二次函数时，考虑函数的开口方向，对称轴与区间的位置关系（为了更好的研究函数在区间的单调性，便于考虑它的性质）.

(Ⅰ)函数的值域为，则，解得.

(Ⅱ)由，

即

令，，∈，原命题等价于两个函数与的图象在内有唯一交点.

(1)当时，在上递减，在上递增，

而g(1)=1>0=h(1)，g(2)=-1<1=h(2)，

∴函数与的图象在内有唯一交点.

(2)当时，图象开口向下，对称轴为，在上递减，

在上递增，与的图象在内有唯一交点，

当且仅当，即即.

∴

(3)当时，图象开口向上，对称轴为，在上递减，在上递增，与的图象在内有唯一交点，

，即即，

∴.

综上，存在实数，使函数于在区间内有且只有一个点.