Question

【题目】设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线过焦点的弦，已知以为直径的圆与相切于点.

（1）求的值及圆的方程；

（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.

Answer 1

【答案】（1）2，；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由题意得的方程为，根据为抛物线过焦点的弦，以为直径的圆与相切于点..利用抛物线和圆的对称性，可得，圆心为，半径为2.

（2）设，的方程为，代入的方程，得，根据直线与抛物线相切，令，得，代入，解得.将代入的方程，得，得到点N的坐标为，然后求解.

（1）解：由题意得的方程为，

所以，解得.

又由抛物线和圆的对称性可知，所求圆的圆心为，半径为2.

所以圆的方程为.

（2）证明：易知直线的斜率存在且不为0，

设，的方程为，代入的方程，

得.

令，得，

所以，解得.

将代入的方程，得，即点N的坐标为，

所以，

，

故.