Question

【题目】如图，在边长为4的菱形中, ，点分别是的中点， ，沿将翻折到，连接，得到如图的五棱锥，且

（1）求证： 平面（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）先证明，从而，根据线面垂直的判定定理可证明平面；（2）设，连接，由（1）可得，根据勾股定理可得,根据线面垂直的判定定理可得平面，以为原点， 在直线为轴， 所在直线轴， 所在直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.

试题解析：（1）点分别是的中点

菱形的对角线互相垂直

（2）设，连接 为等边三角形，

，在中，在中，

， 平面

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则

设平面的法向量为，由得

令得

平面的一个法向量为，

由（1）知平面的一个法向量为，

设求二面角的平面角为，

则

二面角的余弦值为

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.