Question

【题目】在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）设点在曲线上，轴上一点（在点右侧）满足，若平行于的直线与曲线相切于点，试判断直线是否过点？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）直线过点，理由见解析

【解析】

(1)由抛物线的定义求出的方程；

(2)根据抛物线的定义表示出点的坐标，根据坐标写出直线的斜率，进而得到直线的方程，将直线与抛物线方程联立，结合判别式得出，进而得出点D的坐标，求出直线的斜率，讨论和，得出直线的方程，即可判断直线是否过点.

解：（1）根据抛物线的定义得，动点的轨迹是以为焦点，直线的抛物线.

（2）由题设，则，

又，故

由于，则直线不与轴垂直

令平行于的直线，则，

将直线代入，得，

整理……①

，

当时，直线AB为轴，此时不存在平行于的直线与曲线相切于点

即

所以①可以化为

，，

当时

，

，过定点

当时，也过点，故直线过点