Question

【题目】已知定义在实数集上的奇函数,且当时, .

（Ⅰ）求函数在上的解析式;

（Ⅱ）判断在上的单调性;

（Ⅲ）当取何值时,方程在上有实数解?

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） 或或.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由是上的奇函数,得，且设,则， 即可得解；

（Ⅱ）设, 则，判断正负即可下结论；

（Ⅲ）由函数单调性求得在的值域即可.

试题解析：

（Ⅰ）因为是上的奇函数,

所以,

设,则,

因为,

所以时, ,

所以.

（Ⅱ）证明:设,

则,

因为,

所以,

所以,

所以在上为减函数.

（Ⅲ）因为在上为减函数,

所以即,

同理, 上时, ,

又,

所以当或或时方程在上有实数解.

点睛: 证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.