Question

【题目】已知数列{an}，{bn}满足：a1＝3，当n≥2时，an﹣1+an＝4n；对于任意的正整数n，．设{bn}的前n项和为Sn．

（1）求数列{an}及{bn}的通项公式；

（2）求满足13＜Sn＜14的n的集合．

Answer 1

【答案】(1) an＝2n+1；bn＝（4n﹣1）（）n﹣1；(2) {n|n＝1，2或n≥5且n∈N}．

【解析】

（1）求得a2，a3，将an﹣1+an＝4n中的n换为n﹣1，相减可得数列{an}的奇数项以3为首项，2为公差的等差数列，可得an，再将n换为n﹣1，相减可得bn；

（2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得Sn，解不等式可得所求集合．

（1）a1＝3，当n≥2时，an﹣1+an＝4n，

可得a1+a2＝8，即有a2＝5，a2+a3＝12，即有a3＝7，

由n≥3时，an﹣2+an﹣1＝4n﹣4，又an﹣1+an＝4n，

相减可得an﹣an﹣2＝4，

可得数列{an}的奇数项以3为首项，4为公差的等差数列，偶数项以5为首项，4为公差的等差数列，

则数列{an}以3为首项，2为公差的等差数列，

可得an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；

当n＝1时，b1＝a1＝3；

n≥2时，b1+2b2+…+2n﹣2bn﹣1＝（n﹣1）an﹣1，又．

相减可得2n﹣1bn＝n（2n+1）﹣（n﹣1）（2n﹣1）＝4n﹣1，

则bn＝（4n﹣1）（）n﹣1；

（2）前n项和为Sn＝31+711（4n﹣1）（）n﹣1，

Sn＝3711（4n﹣1）（）n，

相减可得Sn＝3+4（（）n﹣1）﹣（4n﹣1）（）n

＝3+4（4n﹣1）（）n，

化简可得Sn＝14﹣（4n+7）（）n﹣1．

13＜Sn＜14，即为13＜14﹣（4n+7）（）n﹣1＜14，

可得4n﹣7＜2n﹣1，

则n＝1，2，上式成立；n＝3，4，上式不成立；

n≥5且n∈N，上式均成立，

则所求n的集合为{n|n＝1，2或n≥5且n∈N}．