Question

【题目】如图，的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为，直线CD交AB于点，交x轴于点.

(1)求直线CD的方程；

(2)动点P在x轴上从点出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t.

①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)①满足条件的点P坐标为或，②满足条件的t的值为或.

【解析】

（1）利用两点式求出直线方程，再化为一般方程；
（2）①根据题意作DP∥OB，利用相似三角形求出点P的坐标，根据对称性求得P′的坐标；
②分情况讨论，OP＝OB＝10时，作PQ∥OB交CD于Q，求得点M与点P重合，t＝0；
OQ＝OB时，求出点Q的横坐标，计算M的横坐标，求得t的值；Q点与C点重合时，求得M点的横坐标，得出t的值.

解：（1）直线CD过点C（12，0），D（6，3），

直线方程为＝，

化为一般形式是x+2y﹣12＝0；

（2）①如图1中，

作DP∥OB，则∠PDA＝∠B，

由DP∥OB得，＝，即＝，∴PA＝；

∴OP＝6﹣＝，∴点P（，0）；

根据对称性知，当AP＝AP′时，P′（，0），

∴满足条件的点P坐标为（，0）或（，0）；

②如图2中，当OP＝OB＝10时，作PQ∥OB交CD于Q，

则直线OB的解析式为y＝x，

直线PQ的解析式为y＝x+，

由，解得，∴Q（﹣4，8）；

∴PQ＝＝10，

∴PQ＝OB，∴四边形OPQB是平行四边形，

又OP＝OB，∴平行四边形OPQB是菱形；

此时点M与点P重合，且t＝0；

如图3，当OQ＝OB时，设Q（m，﹣m+6），

则有m2+＝102，

解得m＝；

∴点Q的横坐标为或；

设M的横坐标为a，

则＝或＝，

解得a＝或a＝；

又点P是从点（﹣10，0）开始运动，

则满足条件的t的值为或；

如图4，当Q点与C点重合时，M点的横坐标为6，此时t＝16；

综上，满足条件的t值为0，或16，或或.