Question

【题目】如图，在三棱锥中，平面，已知，点分别为的中点.

（1）求证：；

（2）若F在线段上，满足平面，求的值；

（3）若三角形是正三角形，边长为2，求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）等腰中，证出中线．由平面，得，再利用线面垂直判定定理，即可证出平面，则可得出；

（2）连结，交于点，连结、．利用线面平行的性质定理，证出．而为的中位线，证出，利用相似三角形的性质和平行线的性质，即可算出的值．

（3）过点作交的中点，证出是等腰三角形，得出，则二面角为，可求出，即为答案.

（1）因为平面，平面，所以，

又因为，是的中点，所以，

而、是平面内的相交直线，所以平面，

而平面，所以.

（2）连结，交于点，连结、

因为平面，平面，平面平面，

所以，

已知、分别是、的中点，则为的中位线，

因此，，可得，

所以，即的值为．

（3）因为是正三角形，边长为2，则，

过点作交的中点，，

又因为平面，所以，

则且，

所以，即是等腰三角形，

连接，有，

所以二面角为，

又因为，所以在中，

，

所以二面角的正切值为.