Question

【题目】已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点.

（1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程；

（2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标；

（3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】

（1）由可得直线的斜率，进而可得直线的方程；
（2）设直线的斜率分别为，可得，求解可得的值，进一步得到直线与直线的方程，联立得的坐标；
（3）设，其中，利用两点间的距离公式可得原点到直线、的距离，变形后利用基本不等式求解．

解：（1）由已知得，又，

直线的方程；
（2）设直线的斜率分别为，
则，得或．
当时，

直线的方程为，直线的方程为，联立得；
当时，

直线的方程为，直线的方程为，联立得．
故所求为或；
（3）设，其中，
故

．
由于（等号成立的条件是），
故．