Question

【题目】已知Sn为数列{an}的前n项和，且an＞0，an2+an=2Sn ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn= ，记Tn=b12b32…b2n﹣12 ， 求证：Tn≥ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an2+an=2Sn，

∴an﹣12+an﹣1=2Sn﹣1，

∴an2+an﹣an﹣12﹣an﹣1=2an，

∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，

∵an＞0，

∴an﹣an﹣1﹣1=0，

∴an﹣an﹣1=1，

∵n=1时

∴a12+a1=2S1=2a1，

解得a1=1，

∴数列{an}是以为首项以1为公差的等差数列，

∴an=1+（n﹣1）=n

（2）解：∵bn= = ，

∴数列{bn}是递增数列，

∴b2n＞b2n﹣1，

∴b2nb2n﹣1＞（b2n﹣1）2，

∴Tn=b12b32…b2n﹣12≥b1b1b2b3b4…b2n= × × × ×…× × = ，当n=1时取等号，

∴Tn≥

【解析】（1）利用递推关系可得an2+an=2Sn ， an﹣12+an﹣1=2Sn﹣1 ， 两式相减化简后得到an﹣an﹣1=1，继而得到数列{an}是以为首项以1为公差的等差数列，求出通项公式即可（2）bn= = ，数列{bn}是递增数列，利用放缩法即可证明．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．